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算法笔试模拟题精解之“填数问题”

第 69 / 74 卷日期：

算法笔试模拟题精解之“填数问题”

贡献者 | 猿圈

简介：“对于任意一个编号为 i 的格子，编号大于 i 的格子上的数都大于等于 i 号

格子上的数”可以转化为 m 个格子上的数是单调不减的。

题目描述

等级：中等

知识点：数论、数学

查看题目：填数问题

有 m 个格子，编号为 1,2…m，每个格子可以填 1,2...n 中的任意一个数。定义

这 m 个格子上的数都是“好的”，仅当对于任意一个编号为 i 的格子，编号大于 i 的

格子上的数都大于等于 i 号格子上的数。求有多少个填数方案，满足这 m 个格子中填

的数是“好的”，答案对 P 取模。

三行分别输入三个整数，m、n、P，分别表示有 m 个格子、填入的最大数字 n

和模 P。（保证 1<=n,m<=1e18,2<=P<=1e5 且 P 是质数）

输出一个整数表示答案对 P 取模的结果。

示例 1

输入：

11

输出：

3

解题思路：

“对于任意一个编号为 i 的格子，编号大于 i 的格子上的数都大于等于 i 号格子上

的数”可以转化为 m 个格子上的数是单调不减的。令 cnt_i 表示 i 这个数在 m 个格

子中的出现次数，可以发现一组∑ cnti = m(i ∈ [1,n]) 唯一对应着一个单调不减的填

数方案。

由插板法可知，n 个非负整数和为 m 的方案数为 (n+m-1,n-1)。所以答案就是

(n+m-1,n-1)，n,m 很大时需要用卢卡斯定理。

复杂度 O(logp n)

看完之后是不是有了答题思路了呢，快来练练手吧：填数问题

全站分卷索引 · 74 卷
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