算法笔试模拟题精解之“寻找等比数列”
算法笔试模拟题精解之“寻找等比数列”
贡献者 | 洪浩原
简介：最简单的方法，就是遍历数组中所有可能的三元组，逐个检验每组数是否
符合公比为 k 的等比数列的性质。对于较长的用例，这么做显然是超时的，不通过。
题目描述
等级：中等
知识点：DP
查看题目：寻找等比数列
Alice 和 Bob 都是数学高手，有一天 Alice 给了 Bob 一个长度为 n 的数组 a，
要求 Bob 在数组中找出 3 个数，要求三个数能够组成一个公比为 k 的等比数列，且
不改变三个数在数组 a 中的位置关系。
为了降低难度，Alice 只要求 Bob 回答数组 a 中有多少个这样的等比数列。
输入一个整数 n 表示数组长度、公比 k(1<=n,k<=2*10^5) 和包含 n 个数的数组
a(-10^9<=ai<=10^9)
输出一个数字，表示数组 a 中包含 Alice 要求的等比数列的数量。
示例 1
输入：
[1,1,2,2,4]
输出：
4
题解思路
方法 1：逐个遍历（超时）
最简单的方法，就是遍历数组中所有可能的三元组，逐个检验每组数是否符合公
比为 k 的等比数列的性质。
对于较长的用例，这么做显然是超时的，不通过。
时间复杂度：O(n^3)
空间复杂度：O(1)
方法 2：动态规划
本题充分利用下面两个隐藏规律，就可以使用动态规划：
- “长度为 3 的等比数列”，满足了动态规划的最优子结构性质
数列中每个数字只有 4 种可能的状态。其中带 * 号的状态可以同时存在，且靠后
的状态可以由前面的状态转换而来：
- 同时属于一个或多个等比数列的第 1 项
- 同时属于一个或多个等比数列的第 2 项
- 同时属于一个或多个等比数列的第 3 项
- 无法与前后数字组成任何等比数列
- “不允许调换顺序”，满足动态规划的子问题不重叠性和无后效性性质
表示数字处于上面哪种状态，完全由这个数字及其之前的数字决定，它的状态与
它后面数字的情形无关。
这就意味着，一次遍历，同时用 map 将每个遍历的数字归属到前面 4 种状态中
的 1 个或多个里。遍历结束，输出第 3 种状态“同时属于一个或多个等比数列的第 3
项”中含有的数字数，就完成了动态规划的过程。
时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(kn)
看完之后是不是有了答题思路了呢，快来练练手吧：寻找等比数列
全站分卷索引 · 74 卷
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