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算法笔试模拟题精解之“Jerry 的异或运算”

第 32 / 74 卷日期：

算法笔试模拟题精解之“Jerry 的异或运算”

贡献者 | 猿圈

简介：本题可以通过推导出一个公式来解答。

题目描述

等级：困难

知识点：DP、数学

查看题目：Jerry 的异或运算

Jerry 最近在研究异或运算，异或也叫半加运算，其运算法则相当于不带进位的

二进制加法。

Jerry 给你一个数字 N，他想知道在 0 到 N 之间有多少对数字 (a,b) 满足 u+v=a,

u ⊕ v = b, ⊕ 表示按位异或，由于答案将会非常大，请将结果对 1e9+7 取模。

输入一个整数 N (0<=N<1e18)

输出整数对 (a,b) 的数目，结果模 1e9+7

示例 1

输入：

3

输出：

解题方法：

由于 u+v=a,u ⊕ v = b, 根据异或的性质我们可以知道：u+v = ((u&v)<<1) +

(u ⊕ v)，所以 u+v >=u ⊕ v，那么只要 u+v<=n, u ⊕ v 也必定小于等于 n。于是这

道题就转化成了对于 u+v<=n , 求 (u,v) 的对数。

定义 dp[n] 表示 u+v<=n ,(u,v) 的对数，当 n=0 的时候 dp[0] = 1，n=1 时，

dp[1] = 2。他们的 (u,v) 分别是 {(0,0)} 和 {(0,0),(1,0)}。

dp[n] 再往下递推的时候，要考虑 u+v<=n 时二进制是如何由小到大转化过来的。

从二进制上来看 u 和 v，两者的末位只有 0 或 1，那么二者的末位和有 0,1,2 三

种情况。

设 u+v=x，令 u = u1*2+u0，v = v1 *2+v0，u0+v0 即为二者的末位和，又有

x<=n，故 (u1+v1)*2+u0+v0<=n, 所以 u1+u2<=(n-u0-v0)/2。

由 u1+u2<=(n-u0-v0)/2 到 (u1+v1)*2+u0+v0<=n 可以推出来递推式：dp[n]

= dp[n/2]+dp[(n-1)/2]+dp[(n-2)/2]。

看完之后是不是有了答题思路了呢，快来练练手吧：Jerry 的异或运算

全站分卷索引 · 74 卷
  1. 1一、算法思想
  2. 2算法笔试模拟题精解之“打怪兽”
  3. 31.2 贪心
  4. 4算法笔试模拟题精解之“最强的团队”
  5. 5算法笔试模拟题精解之“Tom 爱吃巧克力”
  6. 6算法笔试模拟题精解之“吃奶酪”
  7. 7算法笔试模拟题精解之“一的个数”
  8. 8算法笔试模拟题精解之“Bob 的花束”
  9. 9算法笔试模拟题精解之“钱庄”
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  19. 191.3 DP/ 动态规划
  20. 20算法笔试模拟题精解之“寻找等比数列”
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  32. 32算法笔试模拟题精解之“Jerry 的异或运算”
  33. 33算法笔试模拟题精解之“小明的数学作业”
  34. 34算法笔试模拟题精解之“奇偶数列”
  35. 351.4 剪枝
  36. 361.5 尺取法
  37. 37算法笔试模拟题精解之“调整数组”
  38. 38算法笔试模拟题精解之“最优分组”
  39. 39算法笔试模拟题精解之“破译密码”
  40. 40二、数据结构
  41. 412.2 搜索
  42. 42算法笔试模拟题精解之“能量半径”
  43. 43算法笔试模拟题精解之“苹果收获程序”
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  49. 492.3 树
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  51. 51算法笔试模拟题精解之“Codancer 的求和”
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  53. 532.4 线型
  54. 54算法笔试模拟题精解之“最活跃的数”
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  59. 59三、计算
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  61. 61算法笔试模拟题精解之“朋友一生一起走”
  62. 62算法笔试模拟题精解之“正三角塔”
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  65. 65算法笔试模拟题精解之“平行线”
  66. 66算法笔试模拟题精解之“叠叠高”
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  72. 72算法笔试模拟题精解之“坏掉的时钟”
  73. 73算法笔试模拟题精解之“期末考试”
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